কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাকে 20, 25, 30, 36 ও 48 দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে 15, 20, 25, 31 ও 43 ভাগশেষ থাকে?

এই ধরনের সমস্যার জন্য, আমরা প্রথমে একটি সংখ্যা $x$ নির্ধারণ করতে চাই যা 20, 25, 30, 36, এবং 48 দিয়ে বিভাজ্য হলে নির্দিষ্ট ভাগশেষ থাকবে। আমাদের লক্ষ্য হচ্ছে এই সংখ্যা $x$ খুঁজে বের করা।

পদক্ষেপ:

1. প্রথমে, প্রতিটি সংখ্যা থেকে তার প্রয়োজনীয় ভাগশেষ বাদ দিন:
   • সংখ্যা 20 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 15
   • সংখ্যা 25 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 20
   • সংখ্যা 30 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 25
   • সংখ্যা 36 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 31
   • সংখ্যা 48 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ 43

   আমরা এটি লিখতে পারিঃ

   $$x = 20k + 15$$ $$x = 25m + 20$$ $$x = 30n + 25$$ $$x = 36p + 31$$ $$x = 48q + 43$$যেখানে $k, m, n, p, q$ পূর্ণ সংখ্যা।

2. যতটুকু করা যায়, তা একত্রিত করা:

   প্রথমে 20, 25, 30, 36, এবং 48-এর গরিষ্ঠতম সাধারণ গুণফল (GCD) বের করতে হবে এবং এর সাথে প্রতিটি ভাগশেষ যোগ করতে হবে।

   • 20, 25, 30 এর ল. সা. গু. (LCM):

     $$20 = 2² × 5$$ $$25 = 5²$$ $$30 = 2 × 3 × 5$$ল. সা. গু. = $2² × 3 × 5² = 300$

   • 300 এবং 36 এর ল. সা. গু. (LCM):

     $$36 = 2² × 3²$$ল. সা. গু. = $2² × 3² × 5² = 1800$

   • 1800 এবং 48 এর ল. সা. গু. (LCM):

     $$48 = 2⁴ × 3$$ল. সা. গু. = $2⁴ × 3 × 5² = 3600$

   অতএব, LCM হল 3600।

3. সংখ্যাটি নির্ধারণ করুন:
   • $x = 3600k – 5$ (যেখানে -5 আসে ভাগশেষের হিসাব থেকে, 20-15)
   • প্রথম কেসে, $x = 3600 – 5 = 3595$

   পরীক্ষা করে দেখুন:

   • 3595 কে 20 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 15
   • 3595 কে 25 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 20
   • 3595 কে 30 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 25
   • 3595 কে 36 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 31
   • 3595 কে 48 দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ 43

   প্রতিটি কেসে দেখা গেছে যে ভাগশেষ সঠিক।

চূড়ান্ত উত্তর:

ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা 20, 25, 30, 36, ও 48 দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে 15, 20, 25, 31, ও 43 ভাগশেষ থাকবে, তা হল 3595।