পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাসের উপপাদ্য pdf

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

টাইপ	উপপাদ্য
মাঠ	ইউক্লিডীয় জ্যামিতি
বিবৃতি	পায়ে দুটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি ( a এবং b ) কর্ণের ( c ) উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান ।
প্রতীকী বিবৃতি	$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$গ$$2${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$
সাধারণীকরণ	কোসাইনের আইন কঠিন জ্যামিতি অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতি
পরিণতি	পিথাগোরিয়ান ট্রিপল পারস্পরিক পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য জটিল সংখ্যা ইউক্লিডীয় দূরত্ব পিথাগোরিয়ান ত্রিকোণমিতিক পরিচয়

জ্যামিতি
একটি সমতলে একটি গোলক প্রজেক্ট করা
রূপরেখা ইতিহাস
প্রদর্শন শাখা Euclidean Non-Euclidean Elliptic Spherical Hyperbolic Non-Archimedean geometry Projective Affine Synthetic Analytic Algebraic Arithmetic Diophantine Differential Riemannian Symplectic Discrete differential Complex Finite Discrete/Combinatorial Digital Convex Computational Fractal Incidence Noncommutative geometry Noncommutative algebraic geometry
লুকান ধারণা বৈশিষ্ট্য মাত্রা স্ট্রেটেজ এবং কম্পাস নির্মাণ কোণ বক্ররেখা তির্যক অর্থগোনালিটি ( লম্ব ) সমান্তরাল ভার্টেক্স সঙ্গতি সাদৃশ্য প্রতিসাম্য
প্রদর্শন শূন্য-মাত্রিক Point
প্রদর্শন একমাত্রিক Line segment ray Length
প্রদর্শন দ্বিমাত্রিক Plane Area Polygon Triangle Altitude Hypotenuse Pythagorean theorem Parallelogram Square Rectangle Rhombus Rhomboid Quadrilateral Trapezoid Kite Circle Diameter Circumference Area
প্রদর্শন ত্রিমাত্রিক Volume Cube cuboid Cylinder Pyramid Sphere
প্রদর্শন চার- /অন্য-মাত্রিক Tesseract Hypersphere
জিওমিটার
প্রদর্শন নামে Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euclid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Kātyāyana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang List of geometers
প্রদর্শন সময়কাল দ্বারা BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euclid Archimedes Apollonius 1–1400s Zhang Kātyāyana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400s–1700s Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700s–1900s Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Present day Atiyah Gromov
v t e

গণিতে , পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য বা পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির একটি মৌলিক সম্পর্ক । এতে বলা হয়েছে যে বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যার পাশের কর্ণ ( সমকোণের বিপরীত দিক ) অন্য দুটি বাহুর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। এই উপপাদ্যটি a , b এবং কর্ণ c এর বাহুর দৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত একটি সমীকরণ হিসাবে লেখা যেতে পারে , যাকে প্রায়ই পিথাগোরিয়ান সমীকরণ বলা হয় : ^[1]

$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$,${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2},}$

উপপাদ্যটির নামকরণ করা হয়েছে গ্রীক দার্শনিক পিথাগোরাসের জন্য , যার জন্ম প্রায় 570 খ্রিস্টপূর্বাব্দে। উপপাদ্যটি বিভিন্ন পদ্ধতি দ্বারা বহুবার প্রমাণিত হয়েছে – সম্ভবত যে কোনো গাণিতিক উপপাদ্যের জন্য সবচেয়ে বেশি। জ্যামিতিক প্রমাণ এবং বীজগাণিতিক প্রমাণ সহ প্রমাণগুলি বৈচিত্র্যময়, কিছু হাজার বছর আগের।

যখন ইউক্লিডীয় স্থান বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে একটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় , তখন ইউক্লিডীয় দূরত্ব পিথাগোরিয়ান সম্পর্ককে সন্তুষ্ট করে: দুটি বিন্দুর মধ্যে বর্গীয় দূরত্ব বিন্দুর মধ্যে প্রতিটি স্থানাঙ্কের পার্থক্যের বর্গের সমষ্টির সমান।

উপপাদ্যটি বিভিন্ন উপায়ে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে: উচ্চ-মাত্রিক শূন্যস্থানে , ইউক্লিডীয় নয় এমন শূন্যস্থানে , সমকোণী ত্রিভুজ নয় এমন বস্তুর জন্য এবং এন - ডাইমেনশনাল কঠিন পদার্থের ক্ষেত্রে যেগুলি মোটেও ত্রিভুজ নয়। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি গাণিতিক বিমূর্ততা , অতীন্দ্রিয় বা বুদ্ধিবৃত্তিক শক্তির প্রতীক হিসাবে গণিতের বাইরে আগ্রহ আকর্ষণ করেছে ; সাহিত্য, নাটক, বাদ্যযন্ত্র, গান, ডাকটিকিট এবং কার্টুনে জনপ্রিয় রেফারেন্স প্রচুর।

উপপাদ্যের অন্যান্য রূপ

যদি c কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে এবং a এবং b একটি সমকোণী ত্রিভুজের পায়ের দুটি দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে, তাহলে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটিকে পিথাগোরিয়ান সমীকরণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$

যদি শুধুমাত্র সমকোণী ত্রিভুজের পায়ের দৈর্ঘ্য জানা যায় কিন্তু কর্ণ না হয়, তাহলে সমীকরণের সাহায্যে কর্ণের দৈর্ঘ্য গণনা করা যেতে পারে।

$$গ$$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2$\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং এক পায়ের দৈর্ঘ্য জানা থাকলে, অন্য পায়ের দৈর্ঘ্য হিসাবে গণনা করা যেতে পারে

$$ক$$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$-$$খ$$2${\displaystyle a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}}$

বা

$$খ$$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$-$$ক$$2$\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}.}$

এই উপপাদ্যটির একটি সাধারণীকরণ হল কোসাইনের নিয়ম , যা অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ বিবেচনা করে যেকোনো ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর দৈর্ঘ্য গণনা করতে দেয়। অন্য বাহুর মধ্যবর্তী কোণটি সমকোণ হলে, কোসাইনের সূত্রটি পিথাগোরিয়ান সমীকরণে হ্রাস পায়।

নির্মিত স্কোয়ার ব্যবহার করে প্রমাণ

পুনর্বিন্যাস প্রমাণ

একটি পুনর্বিন্যাস প্রমাণে, দুটি বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করা হয় যার বাহুগুলির একটি পরিমাপ রয়েছে $$ক$$+$$খ${\displaystyle a+b}$ এবং যেটিতে চারটি সমকোণী ত্রিভুজ রয়েছে যার বাহুগুলি হল a , b এবং c , যার কর্ণেরটি হল c । ডান পাশের বর্গক্ষেত্রে, ত্রিভুজগুলি এমনভাবে স্থাপন করা হয় যে বর্গক্ষেত্রের কোণগুলি ত্রিভুজের সমকোণের কোণগুলির সাথে মিলে যায়, কেন্দ্রে একটি বর্গক্ষেত্র তৈরি করে যার বাহুগুলির দৈর্ঘ্য c । প্রতিটি বাইরের বর্গক্ষেত্র এর একটি এলাকা আছে$$($$ক$$+$$খ$$)$$2${\displaystyle (a+b)^{2}}$ সেইসাথে$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$+$$গ$$2${\displaystyle 2ab+c^{2}}$, সঙ্গে$$2$\mathrm{}$ক$$খ${\displaystyle 2ab}$চারটি ত্রিভুজের মোট ক্ষেত্রফলের প্রতিনিধিত্ব করে। বাম পাশের বড় বর্গক্ষেত্রের মধ্যে, চারটি ত্রিভুজ সরানো হয় এবং a এবং b দৈর্ঘ্যের বাহুর দুটি অনুরূপ আয়তক্ষেত্র তৈরি করে । এই আয়তক্ষেত্রগুলি তাদের নতুন অবস্থানে এখন দুটি নতুন বর্গক্ষেত্রকে চিত্রিত করেছে, একটির পাশের দৈর্ঘ্য a নীচে-বাম কোণায় গঠিত হয়েছে, এবং উপরের-ডান কোণায় তৈরি হয়েছে পাশের দৈর্ঘ্যের আরেকটি বর্গক্ষেত্র। এই নতুন অবস্থানে, এই বাম দিকে এখন ক্ষেত্রফলের একটি বর্গক্ষেত্র রয়েছে $$($$ক$$+$$খ$$)$$2${\displaystyle (a+b)^{2}}$ সেইসাথে $$2$\mathrm{}$ক$$খ$$+$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$. যেহেতু উভয় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল আছে$$($$ক$$+$$খ$$)$$2${\displaystyle (a+b)^{2}}$এটি অনুসরণ করে যে বর্গক্ষেত্রের অন্যান্য পরিমাপও একে অপরের সমান$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$+$$গ$$2${\displaystyle 2ab+c^{2}}$=$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$+$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$. সমীকরণের উভয় দিক থেকে চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল মুছে দিলে যা অবশিষ্ট থাকে তা হল$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}$ ^[২]

আরেকটি প্রমাণে দ্বিতীয় বাক্সে আয়তক্ষেত্রগুলিও এমনভাবে স্থাপন করা যেতে পারে যাতে উভয়ের একটি কোণ থাকে যা বর্গক্ষেত্রের পরপর কোণগুলির সাথে মিলে যায়। এইভাবে তারা দুটি বাক্স গঠন করে, এই সময় পরপর কোণে, এলাকা সহ $$ক$$2${\displaystyle a^{2}}$এবং$$খ$$2${\displaystyle b^{2}}$যা আবার এলাকা সহ দ্বিতীয় বর্গক্ষেত্রে নিয়ে যাবে$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$+$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\displaystyle 2ab+a^{2}+b^{2}}$.

ইংরেজ গণিতবিদ স্যার থমাস হিথ ইউক্লিডস এলিমেন্টস - এর প্রস্তাবনা I.47-এ তার ভাষ্যটিতে এই প্রমাণ দিয়েছেন এবং জার্মান গণিতবিদ কার্ল আন্তন ব্রেটসনেইডার এবং হারমান হ্যাঙ্কেলের প্রস্তাবগুলি উল্লেখ করেছেন যে পিথাগোরাস এই প্রমাণটি জানতেন। হিথ নিজেই একটি পিথাগোরিয়ান প্রমাণের জন্য একটি ভিন্ন প্রস্তাবের পক্ষে, কিন্তু তার আলোচনার শুরু থেকেই স্বীকার করেছেন যে "পিথাগোরাসের পরে প্রথম পাঁচ শতাব্দীর যে গ্রীক সাহিত্য আমাদের কাছে আছে তাতে এই বা অন্য কোনো বিশেষ মহান জ্যামিতিক আবিষ্কারের উল্লেখ করে কোনো বিবৃতি নেই। " ^[৩] সাম্প্রতিক বৃত্তি গণিতের একজন স্রষ্টা হিসাবে পিথাগোরাসের যে কোনও ধরণের ভূমিকার উপর ক্রমবর্ধমান সন্দেহ সৃষ্টি করেছে, যদিও এই নিয়ে বিতর্ক অব্যাহত রয়েছে। ^[৪]

বীজগণিত প্রমাণ

উপপাদ্যটি বীজগণিতভাবে প্রমাণ করা যেতে পারে একই ত্রিভুজের চারটি অনুলিপি ব্যবহার করে প্রতিসমভাবে সাজানো একটি বর্গক্ষেত্রের চারপাশে c সহ , যেমনটি চিত্রের নীচের অংশে দেখানো হয়েছে। ^[৫] এর ফলে একটি বৃহত্তর বর্গক্ষেত্র হয়, পাশে a + b এবং ক্ষেত্রফল ( a + b ) ² । চারটি ত্রিভুজ এবং বর্গক্ষেত্র c এর ক্ষেত্রফল অবশ্যই বড় বর্গক্ষেত্রের সমান হবে,

$$($$খ$$+$$ক$$)$$2${\mathrm{}}^{}$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$+$$4$\mathrm{}$ক$$খ$$2$\frac{\mathrm{}}{}$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$+$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$,${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$

প্রদান

$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$($$খ$$+$$ক$$)$$2${\mathrm{}}^{}$-$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$=$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$+$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$+$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$-$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$

অনুরূপ একটি প্রমাণে একটি সমকোণী ত্রিভুজের চারটি কপি ব্যবহার করা হয়েছে যার বাহু a , b এবং c , একটি বর্গক্ষেত্রের ভিতরে সাজানো হয়েছে c পাশের অর্ধেকের মতো। ^[৬] ত্রিভুজগুলি ক্ষেত্রফলের সাথে একই রকম$$1$\mathrm{}$2$\frac{\mathrm{}}{}$ক$$খ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab}$, যখন ছোট বর্গক্ষেত্রের পাশে b − a এবং ক্ষেত্রফল ( b − a ) ² আছে । বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তাই

$$($$খ$$-$$ক$$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$4$\mathrm{}$ক$$খ$$2$\frac{\mathrm{}}{}$=$$($$খ$$-$$ক$$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$=$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$-$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$+$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle (b-a)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(b-a)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$

কিন্তু এটি একটি বর্গক্ষেত্র যার পাশে c এবং ক্ষেত্রফল c ² , তাই

$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$

উপপাদ্য অন্যান্য প্রমাণ

এই উপপাদ্যটির অন্য যেকোনটির চেয়ে বেশি পরিচিত প্রমাণ থাকতে পারে ( চতুর্মুখী পারস্পরিকতার আইন সেই পার্থক্যের জন্য আরেকটি প্রতিযোগী); The Pythagorean Proposition বইটিতে 370টি প্রমাণ রয়েছে। ^[৭]

অনুরূপ ত্রিভুজ ব্যবহার করে প্রমাণ

এই প্রমাণটি তিনটি অনুরূপ ত্রিভুজের বাহুর সমানুপাতিকতার উপর ভিত্তি করে , অর্থাৎ , ত্রিভুজের আকার নির্বিশেষে অনুরূপ ত্রিভুজের যেকোনো দুটি সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাত একই।

ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজকে উপস্থাপন করুক , যেখানে C তে অবস্থিত সমকোণটি চিত্রে দেখানো হয়েছে। C বিন্দু থেকে উচ্চতা আঁকুন এবং H কে AB পাশের ছেদকে বলুন । বিন্দু H কর্ণের c দৈর্ঘ্যকে d এবং e অংশে ভাগ করে । নতুন ত্রিভুজ, ACH, ত্রিভুজ ABC এর অনুরূপ , কারণ তাদের উভয়েরই একটি সমকোণ রয়েছে (উচ্চতার সংজ্ঞা অনুসারে), এবং তারা A- তে কোণ ভাগ করে নেয়, যার অর্থ তৃতীয় কোণটি উভয় ত্রিভুজে একই হবে, চিত্রটিতে θ হিসাবে চিহ্নিত। একটি অনুরূপ যুক্তি দ্বারা, ত্রিভুজ CBH এছাড়াও ABC অনুরূপ । ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য প্রমাণের জন্য ত্রিভুজ পোষ্টুলেট প্রয়োজন : একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি দুটি সমকোণ, এবং সমান্তরাল পোস্টুলেটের সমতুল্য । ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য সংশ্লিষ্ট বাহুর অনুপাতের সমতার দিকে পরিচালিত করে:

$$খ$$গ$$ক$$খ$\frac{}{}$=$$খ$$এইচ$$খ$$গ$\frac{}{}$ এবং $$ক$$গ$$ক$$খ$\frac{}{}$=$$ক$$এইচ$$ক$$গ$\frac{}{}$.${\displaystyle {\frac {BC}{AB}}={\frac {BH}{BC}}{\text{ and }}{\frac {AC}{AB}}={\frac {AH}{AC}}.}$

প্রথম ফলাফলটি θ কোণগুলির কোসাইনগুলিকে সমান করে , যেখানে দ্বিতীয় ফলাফলটি তাদের সাইনগুলিকে সমান করে ।

এই অনুপাত হিসাবে লেখা যেতে পারে

$$খ$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$খ$$×$$খ$$এইচ$$ এবং $$ক$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$খ$$×$$ক$$এইচ$$.${\displaystyle BC^{2}=AB\times BH{\text{ and }}AC^{2}=AB\times AH.}$

এই দুটি সমতার সারসংক্ষেপের ফলাফল পাওয়া যায়

$$খ$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$+$$ক$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$খ$$×$$খ$$এইচ$$+$$ক$$খ$$×$$ক$$এইচ$$=$$ক$$খ$$($$ক$$এইচ$$+$$খ$$এইচ$$)$$=$$ক$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$,${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB\times BH+AB\times AH=AB(AH+BH)=AB^{2},}$

যা, সরলীকরণের পরে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রদর্শন করে:

$$খ$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$+$$ক$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.}$

ইতিহাসে এই প্রমাণের ভূমিকা অনেক জল্পনা-কল্পনার বিষয়। অন্তর্নিহিত প্রশ্ন হল কেন ইউক্লিড এই প্রমাণ ব্যবহার করেননি, বরং অন্য একটি আবিষ্কার করেছিলেন। একটি অনুমান হল যে অনুরূপ ত্রিভুজ দ্বারা প্রমাণে অনুপাতের একটি তত্ত্ব জড়িত ছিল, একটি বিষয় যা পরবর্তীতে উপাদানগুলিতে আলোচিত হয়নি , এবং সেই সময়ে অনুপাতের তত্ত্বের আরও বিকাশের প্রয়োজন ছিল। ^{[৮] [৯]}

ইউক্লিডের প্রমাণ

রূপরেখায়, এখানে ইউক্লিডের উপাদানগুলির প্রমাণ কীভাবে এগিয়ে যায় তা এখানে । বড় বর্গক্ষেত্রটি একটি বাম এবং ডান আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত। একটি ত্রিভুজ তৈরি করা হয়েছে যার বাম আয়তক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল রয়েছে। তারপর আরেকটি ত্রিভুজ তৈরি করা হয় যার বাম-সবচেয়ে পাশে বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক ক্ষেত্রফল রয়েছে। এই দুটি ত্রিভুজকে সঙ্গতিপূর্ণ দেখানো হয়েছে , প্রমাণ করে যে এই বর্গক্ষেত্রটির বাম আয়তক্ষেত্রের সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে। এই যুক্তিটি ডান আয়তক্ষেত্র এবং অবশিষ্ট বর্গক্ষেত্রের জন্য অনুরূপ সংস্করণ দ্বারা অনুসরণ করা হয়। কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রটিকে সংস্কার করতে দুটি আয়তক্ষেত্রকে একত্রে রাখলে, এর ক্ষেত্রফল অন্য দুটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান। বিস্তারিত অনুসরণ.

ধরা যাক A , B , C একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু , যার একটি সমকোণ A। কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রে কর্ণের বিপরীত দিকে A থেকে একটি লম্ব ড্রপ করুন। এই রেখাটি কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রটিকে দুটি আয়তক্ষেত্রে বিভক্ত করে, প্রতিটির পায়ের দুটি বর্গক্ষেত্রের একটির সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে।

আনুষ্ঠানিক প্রমাণের জন্য, আমাদের চারটি প্রাথমিক লেমাতা প্রয়োজন :

1. যদি দুটি ত্রিভুজের একটির দুটি বাহু অন্যটির দুটি বাহুর সমান, প্রতিটির প্রতিটির সমান এবং সেই বাহুর দ্বারা অন্তর্ভুক্ত কোণগুলি সমান, তাহলে ত্রিভুজগুলি সর্বসম হয় ( পার্শ্ব-কোণ-পার্শ্ব )।
2. একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল একই বেসে থাকা যেকোনো সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফলের অর্ধেক এবং একই উচ্চতা রয়েছে।
3. একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দুটি সন্নিহিত বাহুর গুণফলের সমান।
4. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার দুটি বাহুর গুণফলের সমান (3 থেকে অনুসরণ করে)।

এর পরে, প্রতিটি উপরের বর্গক্ষেত্রটি নীচের বর্গক্ষেত্র তৈরির দুটি আয়তক্ষেত্রের একটির সাথে সম্পর্কিত আরেকটি ত্রিভুজের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত। ^[১০]

অনুসরণ হিসাবে প্রমাণ:

1. ACB কে সমকোণ CAB সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ হতে দিন।
2. BC, AB, এবং CA-এর প্রতিটি দিকে, সেই ক্রমে CBDE, BAGF, এবং ACIH, বর্গক্ষেত্র আঁকা হয়। বর্গাকার নির্মাণের জন্য ইউক্লিডের অবিলম্বে পূর্ববর্তী উপপাদ্যগুলির প্রয়োজন, এবং এটি সমান্তরাল অনুকরণের উপর নির্ভর করে। ^[১১]
3. A থেকে, BD এবং CE এর সমান্তরাল একটি রেখা আঁকুন। এটি লম্বভাবে BC এবং DE কে K এবং L এ ছেদ করবে।
4. BCF এবং BDA ত্রিভুজ গঠন করতে CF এবং AD যোগ করুন।
5. কোণ CAB এবং BAG উভয়ই সমকোণ; তাই C, A, এবং G সমরেখার ।
6. কোণ CBD এবং FBA উভয়ই সমকোণ; সুতরাং কোণ ABD কোণ FBC এর সমান, যেহেতু উভয়ই একটি সমকোণ এবং ABC কোণের সমষ্টি।
7. যেহেতু AB FB-এর সমান, BD সমান BC এবং কোণ ABD সমান কোণ FBC, ত্রিভুজ ABD অবশ্যই ত্রিভুজ FBC-এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হতে হবে।
8. যেহেতু AKL একটি সরল রেখা, BD-এর সমান্তরাল, তারপর আয়তক্ষেত্র BDLK-এর ত্রিভুজ ABD-এর দ্বিগুণ ক্ষেত্রফল রয়েছে কারণ তারা বেস BD ভাগ করে এবং একই উচ্চতা BK, অর্থাৎ, তাদের সাধারণ বেসের সাথে একটি সাধারণ লাইন, সমান্তরাল রেখা BD এবং সংযোগ করে। এ.এল. (লেমা 2)
9. যেহেতু C এবং A এবং G এর সাথে সমান্তরাল, এবং এই রেখাটি FB-এর সমান্তরাল, তাহলে বর্গাকার BAGF ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ FBC থেকে ত্রিভুজ হতে হবে।
10. ^{অতএব, আয়তক্ষেত্র BDLK-এর বর্গাকার BAGF = AB 2} এর সমান ক্ষেত্রফল থাকতে হবে ।
11. চিত্রের অন্য পাশে ধাপ 3 থেকে 10 প্রয়োগ করে, এটি একইভাবে দেখানো যেতে পারে যে আয়তক্ষেত্র CKLE এর ক্ষেত্রফল অবশ্যই ACIH = AC ² এর মতোই হবে ।
12. এই দুটি ফলাফল যোগ করলে, AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC
13. যেহেতু BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
14. অতএব, AB ² + AC ² = BC ² , যেহেতু CBDE একটি বর্গক্ষেত্র।

এই প্রমাণ, যা ইউক্লিডস এলিমেন্টস বই 1 এর প্রস্তাবনা 47 হিসাবে প্রদর্শিত হয়, এটি প্রমাণ করে যে কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল অন্য দুটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি। ^{[১২] [১৩]} এটি ত্রিভুজগুলির সাদৃশ্য দ্বারা প্রমাণ থেকে বেশ স্বতন্ত্র, যা পিথাগোরাসের ব্যবহৃত প্রমাণ বলে অনুমান করা হয়। ^{[৯] [১৪]}

ব্যবচ্ছেদ এবং পুনর্বিন্যাস দ্বারা প্রমাণ

আরেকটি পুনর্বিন্যাস মধ্যম অ্যানিমেশন দ্বারা দেওয়া হয়. একটি ছোট কেন্দ্রীয় বর্গক্ষেত্রের চারপাশে লাগানো বাহু a , b এবং c সহ চারটি অভিন্ন সমকোণী ত্রিভুজ থেকে ক্ষেত্রফল c ² নিয়ে একটি বড় বর্গক্ষেত্র তৈরি হয় । তারপর ত্রিভুজগুলি সরানোর মাধ্যমে a এবং b বাহু দিয়ে দুটি আয়তক্ষেত্র তৈরি হয় । এই আয়তক্ষেত্রগুলির সাথে ছোট বর্গক্ষেত্রের সংমিশ্রণে ক্ষেত্রফলের দুটি বর্গক্ষেত্র a ² এবং b ² উৎপন্ন হয়, যার ক্ষেত্রফলের প্রাথমিক বড় বর্গক্ষেত্রের সমান হতে হবে। ^[১৫]

তৃতীয়, ডানদিকের চিত্রটিও একটি প্রমাণ দেয়। উপরের দুটি বর্গক্ষেত্রকে নীল এবং সবুজ শেডিং দ্বারা দেখানো হয়েছে এমন টুকরোগুলিতে ভাগ করা হয়েছে যেগুলিকে পুনর্বিন্যাস করা হলে কর্ণের নীচের বর্গক্ষেত্রে মাপসই করা যেতে পারে – বা বিপরীতভাবে বড় বর্গক্ষেত্রকে ভাগ করা যেতে পারে যা দেখানো হয়েছে এমন টুকরোগুলিতে যা অন্য দুটি পূরণ করে। . একটি চিত্রকে টুকরো টুকরো করে কেটে আরেকটি চিত্র পাওয়ার জন্য পুনরায় সাজানোর এই পদ্ধতিকে বিচ্ছেদ বলে । এটি দেখায় বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দুটি ছোট বর্গক্ষেত্রের সমান। ^[১৬]

চারটি অভিন্ন সমকোণী ত্রিভুজের পুনর্বিন্যাস দ্বারা প্রমাণ দেখানো অ্যানিমেশন

অ্যানিমেশন পুনর্বিন্যাস দ্বারা অন্য প্রমাণ দেখাচ্ছে

একটি বিস্তৃত পুনর্বিন্যাস ব্যবহার করে প্রমাণ

পুনর্বিন্যাস ছাড়াই ব্যবচ্ছেদ করে আইনস্টাইনের প্রমাণ

আলবার্ট আইনস্টাইন ব্যবচ্ছেদ করে একটি প্রমাণ দিয়েছেন যাতে টুকরোগুলি সরানোর দরকার নেই। ^[১৭] কর্ণের উপর একটি বর্গক্ষেত্র এবং পায়ে দুটি বর্গক্ষেত্র ব্যবহার করার পরিবর্তে, কেউ অন্য যেকোন আকৃতি ব্যবহার করতে পারে যার মধ্যে কর্ণ রয়েছে এবং দুটি অনুরূপ আকার যার প্রতিটিতে কর্ণের পরিবর্তে দুটি পায়ের একটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে (দেখুন অনুরূপ চিত্রগুলি তিন দিকে) আইনস্টাইনের প্রমাণে, যে আকৃতিতে কর্ণ রয়েছে তা হল সমকোণী ত্রিভুজ। ব্যবচ্ছেদটি ত্রিভুজের সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে কর্ণের দিকে একটি লম্ব ড্রপ করে, এইভাবে পুরো ত্রিভুজটিকে দুটি ভাগে বিভক্ত করে। এই দুটি অংশের মূল সমকোণী ত্রিভুজের আকৃতি একই, এবং মূল ত্রিভুজের পাগুলি তাদের কর্ণের মতো এবং তাদের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি হল মূল ত্রিভুজের সমান। যেহেতু একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল তার কর্ণের বর্গক্ষেত্রের অনুপাত অনুরূপ ত্রিভুজের জন্য একই, তিনটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের মধ্যে সম্পর্ক বৃহৎ ত্রিভুজের বাহুর বর্গক্ষেত্রের জন্যও ধারণ করে।

এলাকা-সংরক্ষিত শিয়ারিং দ্বারা প্রমাণ

সহগামী অ্যানিমেশনে দেখানো হয়েছে, এলাকা-সংরক্ষিত শিয়ার ম্যাপিং এবং অনুবাদগুলি ডান-কোণ সংলগ্ন পাশের বর্গগুলিকে কর্ণের বর্গক্ষেত্রে রূপান্তরিত করতে পারে, একসাথে এটিকে ঠিক আচ্ছাদিত করে। ^[১৮] প্রতিটি শিয়ার ভিত্তি এবং উচ্চতা অপরিবর্তিত রাখে, এইভাবে এলাকাটিও অপরিবর্তিত থাকে। অনুবাদগুলিও এলাকাটিকে অপরিবর্তিত রাখে, কারণ তারা আকারগুলিকে মোটেও পরিবর্তন করে না। প্রতিটি বর্গক্ষেত্রকে প্রথমে একটি সমান্তরাল বৃত্তে কাটা হয় এবং তারপরে একটি আয়তক্ষেত্রে পরিণত করা হয় যা কর্ণের উপর বর্গক্ষেত্রের একটি অংশে অনুবাদ করা যেতে পারে।

বীজগণিত প্রমাণ

একটি সম্পর্কিত প্রমাণ ভবিষ্যতে মার্কিন প্রেসিডেন্ট জেমস এ. গারফিল্ড (তখন একজন মার্কিন প্রতিনিধি ) দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল (চিত্র দেখুন)। ^{[১৯] [২০] [২১]} বর্গক্ষেত্রের পরিবর্তে এটি একটি ট্র্যাপিজয়েড ব্যবহার করে , যা উপরের প্রমাণগুলির দ্বিতীয়টিতে অভ্যন্তরীণ বর্গক্ষেত্রের একটি তির্যক বরাবর দ্বিখণ্ডিত করে বর্গক্ষেত্র থেকে তৈরি করা যেতে পারে, যাতে দেখানো হয়েছে ট্র্যাপিজয়েড দিতে। চিত্র ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফল বর্গক্ষেত্রের অর্ধেক হিসাবে গণনা করা যেতে পারে, অর্থাৎ

$$1$\mathrm{}$2$\frac{\mathrm{}}{}$($$খ$$+$$ক$$)$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle {\frac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$

অভ্যন্তরীণ বর্গক্ষেত্রটি একইভাবে অর্ধেক করা হয়েছে, এবং সেখানে মাত্র দুটি ত্রিভুজ রয়েছে তাই প্রমাণটি উপরের মতই এগিয়ে যায়$$1$\mathrm{}$2${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, যা ফলাফল দিতে দুই দ্বারা গুণ করে সরানো হয়।

ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করে প্রমাণ

একটি বাহুর পরিবর্তন কীভাবে কর্ণের পরিবর্তন ঘটায় এবং ক্যালকুলাস নিয়োগ করে তা অধ্যয়ন করে কেউ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যে পৌঁছাতে পারে । ^{[২২] [২৩] [২৪]}

ABC ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ, যেমনটি চিত্রের উপরের অংশে দেখানো হয়েছে, BC- এর সাথে কর্ণ। একই সময়ে ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য মাপা হয় যেমন দেখানো হয়েছে, দৈর্ঘ্য y এর কর্ণের সাথে, দৈর্ঘ্য x এর পার্শ্ব AC এবং দৈর্ঘ্য a এর পাশের AB , নিম্ন চিত্রের অংশে দেখা গেছে।

সাইড AC- কে D- এ সামান্য প্রসারিত করে x- কে একটি ছোট পরিমাণ dx দ্বারা বৃদ্ধি করা হলে , y ও dy দ্বারা বৃদ্ধি পায় । এগুলি একটি ত্রিভুজের দুটি বাহু গঠন করে, CDE , যা ( E এর সাথে নির্বাচন করা হয়েছে যাতে CE কর্ণের সাথে লম্ব হয়) একটি সমকোণী ত্রিভুজ যা প্রায় ABC এর অনুরূপ । অতএব, তাদের বাহুর অনুপাত অবশ্যই একই হতে হবে, তা হল:

$$d$$y$$d$$এক্স$\frac{}{}$=$$এক্স$$y$\frac{}{}$.${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$

এই হিসাবে পুনর্লিখন করা যেতে পারে$$y$$d$$y$$=$$এক্স$$d$$এক্স${\displaystyle y\,dy=x\,dx}$, যা একটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা সরাসরি ইন্টিগ্রেশন দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে:

$$∫$$y$$d$$y$$=$$∫$$এক্স$$d$$এক্স$$,${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx\,,}$

প্রদান

$$y$$2${\mathrm{}}^{}$=$$এক্স$$2${\mathrm{}}^{}$+$$গ$$.${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$

সমীকরণ দিতে x = 0, y = a থেকে ধ্রুবক নির্ণয় করা যেতে পারে

$$y$$2${\mathrm{}}^{}$=$$এক্স$$2${\mathrm{}}^{}$+$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$

এটি একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণের চেয়ে একটি স্বজ্ঞাত প্রমাণ: এটিকে আরও কঠোর করা যেতে পারে যদি dx এবং dy- এর জায়গায় সঠিক সীমা ব্যবহার করা হয় ।

কথোপকথন

উপপাদ্যের কথোপকথনটিও সত্য: ^[25]

a , b , এবং c দৈর্ঘ্যের বাহুর একটি ত্রিভুজ দেওয়া হলে, a ² + b ² = c ² হলে , a এবং b বাহুর মধ্যবর্তী কোণটি একটি সমকোণ ।

যে কোনো তিনটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা a , b , এবং c যেমন a ² + b ² = c ² , ত্রিভুজের অসমতার বিপরীতে a , b এবং c বাহু সহ একটি ত্রিভুজ বিদ্যমান ।

এই কথোপকথনটি ইউক্লিডস এলিমেন্টস (Book I, Proposition 48) এ দেখা যায়: "যদি একটি ত্রিভুজের একটি বাহুর বর্গক্ষেত্রটি ত্রিভুজের অবশিষ্ট দুটি বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান হয়, তাহলে অবশিষ্ট দুটি বাহুর মধ্যে থাকা কোণটি ত্রিভুজটি সঠিক।" ^[২৬]

এটি কোসাইনের আইন ব্যবহার করে বা নিম্নরূপ প্রমাণিত হতে পারে :

ধরা যাক ABC একটি ত্রিভুজ যার বাহুর দৈর্ঘ্য a , b , এবং c , একটি ² + b ² = c ² সহ । একটি সমকোণ সম্বলিত a এবং b দৈর্ঘ্যের বাহুর সাথে একটি দ্বিতীয় ত্রিভুজ তৈরি করুন। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, এটি অনুসরণ করে যে এই ত্রিভুজের কর্ণের দৈর্ঘ্য c = √ a ² + b ² , প্রথম ত্রিভুজের কর্ণের সমান। যেহেতু উভয় ত্রিভুজের বাহু একই দৈর্ঘ্য a , b এবং c, ত্রিভুজগুলি সঙ্গতিপূর্ণ এবং অবশ্যই একই কোণ থাকতে হবে। অতএব, মূল ত্রিভুজের a এবং b দৈর্ঘ্যের বাহুর মধ্যবর্তী কোণটি একটি সমকোণ।

কথোপকথনের উপরোক্ত প্রমাণটি নিজেই পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে। কথোপকথনটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুমান না করেও প্রমাণিত হতে পারে। ^{[২৭] [২৮]}

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের কথোপকথনের একটি ফলাফল হল একটি ত্রিভুজ সঠিক, স্থূল বা তীক্ষ্ণ কিনা তা নির্ধারণ করার একটি সহজ উপায়, নিম্নরূপ। c কে তিনটি বাহুর মধ্যে দীর্ঘতম হিসাবে বেছে নেওয়া যাক এবং a + b > c (অন্যথায় ত্রিভুজ অসমতা অনুসারে কোন ত্রিভুজ নেই )। নিম্নলিখিত বিবৃতি প্রযোজ্য: ^[২৯]

• যদি a ² + b ² = c ² হয় , তাহলে ত্রিভুজটি ঠিক ।
• যদি একটি ² + b ² > c ² হয় , তাহলে ত্রিভুজটি তীব্র ।
• যদি একটি ² + b ² < c ² হয় , তাহলে ত্রিভুজটি স্থূল ।

Edsger W. Dijkstra এই ভাষায় তীব্র, ডান এবং স্থূল ত্রিভুজ সম্পর্কে এই প্রস্তাবটি বলেছেন:

sgn( α + β − γ ) = sgn ( a ² + b ² − c ² ),

যেখানে α হল a পাশের বিপরীত কোণ , β হল b বাহুর বিপরীত কোণ , γ হল পাশের c এর বিপরীত কোণ এবং sgn হল সাইন ফাংশন । ^[৩০]

উপপাদ্যের ফলাফল এবং ব্যবহার

পিথাগোরিয়ান ট্রিপল

একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপলের তিনটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা a , b , এবং c , যেমন a ² + b ² = c ² । অন্য কথায়, একটি পিথাগোরিয়ান ট্রিপল একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যকে প্রতিনিধিত্ব করে যেখানে তিনটি বাহুরই পূর্ণসংখ্যা দৈর্ঘ্য রয়েছে। ^[১] এই ধরনের ট্রিপল সাধারণত লেখা হয় ( a , b , c )। কিছু সুপরিচিত উদাহরণ হল (3, 4, 5) এবং (5, 12, 13)।

একটি আদিম পিথাগোরিয়ান ট্রিপল হল একটি যার মধ্যে a , b এবং c coprime ( a , b এবং c এর সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ ভাজক হল 1)।

নিম্নে 100 এর কম মান সহ আদিম পিথাগোরিয়ান ট্রিপলের একটি তালিকা রয়েছে:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12) , 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77) , 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

বিপরীত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য

বাহু সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজ দেওয়া হয়েছে$$ক$$,$$খ$$,$$গ${\displaystyle a,b,c}$এবং উচ্চতা $$d${\displaystyle d}$(সমকোণ থেকে একটি রেখা এবং কর্ণের লম্ব $$গ${\displaystyle c}$) পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য আছে,

$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$গ$$2${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

যখন বিপরীত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য দুটি পা সম্পর্কিত $$ক$$,$$খ${\displaystyle a,b}$উচ্চতায়$$d${\displaystyle d}$, ^[৩১]

$$1$\mathrm{}$ক$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$+$$1$\mathrm{}$খ$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$=$$1$\mathrm{}$d$$2${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$

সমীকরণে রূপান্তরিত হতে পারে,

$$1$\mathrm{}$($$এক্স$$z$$)$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$+$$1$\mathrm{}$($$y$$z$$)$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$=$$1$\mathrm{}$($$এক্স$$y$$)$$2${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}$

কোথায়$$এক্স$$2${\mathrm{}}^{}$+$$y$$2${\mathrm{}}^{}$=$$z$$2${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$যে কোনো নন-জিরো রিয়েলের জন্য $$এক্স$$,$$y$$,$$z${\displaystyle x,y,z}$. যদি$$ক$$,$$খ$$,$$d${\displaystyle a,b,d}$পূর্ণসংখ্যা হতে হবে , সবচেয়ে ছোট সমাধান$$ক$$>$$খ$$>$$d${\displaystyle a>b>d}$তারপর

$$1$\mathrm{}$20$\mathrm{}$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$+$$1$\mathrm{}$15$\mathrm{}$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$=$$1$\mathrm{}$12$\mathrm{}$2${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$

ক্ষুদ্রতম পিথাগোরিয়ান ট্রিপল ব্যবহার করে$$3$\mathrm{}$,$$4$\mathrm{}$,$$5${\displaystyle 3,4,5}$. পারস্পরিক পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য হল অপটিক সমীকরণের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে

$$1$\mathrm{}$পি$\frac{}{}$+$$1$\mathrm{}$q$\frac{}{}$=$$1$\mathrm{}$r${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$

যেখানে হরগুলি বর্গক্ষেত্র এবং একটি হেপ্টাগোনাল ত্রিভুজের জন্য যার বাহুগুলি$$পি$$,$$q$$,$$r${\displaystyle p,q,r}$বর্গ সংখ্যা।

অসংলগ্ন দৈর্ঘ্য

Pythagorean থিওরেমের একটি ফলাফল হল যে রেখার অংশগুলির দৈর্ঘ্য অপরিমেয় (তাই যার অনুপাত একটি মূলদ সংখ্যা নয়) একটি সোজা প্রান্ত এবং কম্পাস ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে । পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি অসংলগ্ন দৈর্ঘ্য তৈরি করতে সক্ষম করে কারণ একটি ত্রিভুজের কর্ণটি বর্গমূল ক্রিয়া দ্বারা বাহুগুলির সাথে সম্পর্কিত ।

ডানদিকের চিত্রটি দেখায় যে কীভাবে রেখার অংশগুলি তৈরি করতে হয় যার দৈর্ঘ্য যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গমূলের অনুপাতে। ^[৩২] প্রতিটি ত্রিভুজের একটি বাহু থাকে (লেবেলযুক্ত "1") যা পরিমাপের জন্য নির্বাচিত একক। প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য এই এককের পরিপ্রেক্ষিতে কর্ণের দৈর্ঘ্য স্থাপন করে। যদি একটি কর্ণ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার বর্গমূল দ্বারা এককের সাথে সম্পর্কিত হয় যা একটি নিখুঁত বর্গ নয়, তবে এটি একটি দৈর্ঘ্যের উপলব্ধি যা এককের সাথে অসংলগ্ন, যেমন √ 2 , √ 3 , √ 5  । আরও বিস্তারিত জানার জন্য, দ্বিঘাত অযৌক্তিক দেখুন ।

অসংলগ্ন দৈর্ঘ্য পিথাগোরিয়ান স্কুলের শুধুমাত্র পূর্ণ সংখ্যা হিসাবে সংখ্যার ধারণার সাথে সাংঘর্ষিক। পিথাগোরিয়ান স্কুল একটি সাধারণ সাবইউনিটের পূর্ণসংখ্যা গুণের তুলনা করে অনুপাত নিয়ে কাজ করে। ^[৩৩] একটি কিংবদন্তি অনুসারে, মেটাপন্টামের হিপ্পাসাস ( সা. 470 খ্রিস্টপূর্ব) অযৌক্তিক বা অসংলগ্নতার অস্তিত্ব জানার জন্য সমুদ্রে ডুবে মারা হয়েছিল। ^{[৩৪] [৩৫]}

জটিল সংখ্যা

যেকোনো জটিল সংখ্যার জন্য

$$z$$=$$এক্স$$+$$i$$y$$,${\displaystyle z=x+iy,}$

পরম মান বা মডুলাস দ্বারা দেওয়া হয়

$$r$$=$$|$$z$$|$$=$$এক্স$$2${\mathrm{}}^{}$+$$y$$2$\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$

সুতরাং তিনটি পরিমাণ, r , x এবং y পিথাগোরিয়ান সমীকরণ দ্বারা সম্পর্কিত,

$$r$$2${\mathrm{}}^{}$=$$এক্স$$2${\mathrm{}}^{}$+$$y$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

মনে রাখবেন যে r একটি ধনাত্মক সংখ্যা বা শূন্য হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে x এবং y ঋণাত্মক এবং ধনাত্মকও হতে পারে। জ্যামিতিকভাবে r হল শূন্য থেকে z এর দূরত্ব বা জটিল সমতলে উৎপত্তি O।

z ₁ এবং z ₂ বলতে দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব খুঁজে পেতে এটিকে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে । প্রয়োজনীয় দূরত্ব দ্বারা দেওয়া হয়

$$|$$z$$1${\mathrm{}}_{}$-$$z$$2${\mathrm{}}_{}$|$$=$$($$এক্স$$1${\mathrm{}}_{}$-$$এক্স$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$y$$1${\mathrm{}}_{}$-$$y$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2$\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$

তাই আবার তারা পিথাগোরিয়ান সমীকরণের একটি সংস্করণ দ্বারা সম্পর্কিত,

$$|$$z$$1${\mathrm{}}_{}$-$$z$$2${\mathrm{}}_{}$|$$2${\mathrm{}}^{}$=$$($$এক্স$$1${\mathrm{}}_{}$-$$এক্স$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$y$$1${\mathrm{}}_{}$-$$y$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$

ইউক্লিডীয় দূরত্ব

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের দূরত্ব সূত্রটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে উদ্ভূত। ^[৩৬] যদি ( x ₁ , y ₁ ) এবং ( x ₂ , y ₂ ) সমতলের বিন্দু হয়, তাহলে তাদের মধ্যকার দূরত্ব, যাকে ইউক্লিডীয় দূরত্বও বলা হয় , দ্বারা দেওয়া হয়

$$($$এক্স$$1${\mathrm{}}_{}$-$$এক্স$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$y$$1${\mathrm{}}_{}$-$$y$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2$\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$

আরও সাধারণভাবে, ইউক্লিডীয় এন - স্পেসে , দুটি বিন্দুর মধ্যে ইউক্লিডীয় দূরত্ব,$$ক$$=$$($$ক$$1${\mathrm{}}_{}$,$$ক$$2${\mathrm{}}_{}$,$$…$$,$$ক$$n${}_{}$)${\displaystyle A\,=\,(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$এবং$$খ$$=$$($$খ$$1${\mathrm{}}_{}$,$$খ$$2${\mathrm{}}_{}$,$$…$$,$$খ$$n${}_{}$)${\displaystyle B\,=\,(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$, সংজ্ঞায়িত করা হয়, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাধারণীকরণ দ্বারা, যেমন:

$$($$ক$$1${\mathrm{}}_{}$-$$খ$$1${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$ক$$2${\mathrm{}}_{}$-$$খ$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$⋯$$+$$($$ক$$n${}_{}$-$$খ$$n${}_{}$)$$2$\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$=$$∑$$i$$=$$1$\mathrm{}$n$\underset{}{\overset{}{}}$($$ক$$i${}_{}$-$$খ$$i${}_{}$)$$2$\sqrt{{\mathrm{}}^{}}$.${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$

যদি ইউক্লিডীয় দূরত্বের পরিবর্তে, এই মানের বর্গ ( বর্গযুক্ত ইউক্লিডীয় দূরত্ব বা SED) ব্যবহার করা হয়, ফলে সমীকরণটি বর্গমূল এড়িয়ে যায় এবং কেবলমাত্র স্থানাঙ্কগুলির SED-এর সমষ্টি হয়:

$$($$ক$$1${\mathrm{}}_{}$-$$খ$$1${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$ক$$2${\mathrm{}}_{}$-$$খ$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$⋯$$+$$($$ক$$n${}_{}$-$$খ$$n${}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$=$$∑$$i$$=$$1$\mathrm{}$n$\underset{}{\overset{}{}}$($$ক$$i${}_{}$-$$খ$$i${}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$

বর্গক্ষেত্র হল উভয় বিন্দুর একটি মসৃণ, উত্তল ফাংশন , এবং সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্রের ভিত্তি তৈরি করে অপ্টিমাইজেশান তত্ত্ব এবং পরিসংখ্যানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় ।

অন্যান্য স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় ইউক্লিডীয় দূরত্ব

যদি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার না করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, যদি মেরু স্থানাঙ্ক দুটি মাত্রায় ব্যবহার করা হয় বা, আরও সাধারণ পরিভাষায়, যদি বক্ররেখার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা হয়, তবে ইউক্লিডীয় দূরত্ব প্রকাশকারী সূত্রগুলি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের তুলনায় আরও জটিল, তবে এটি থেকে উদ্ভূত হতে পারে। এটা একটি সাধারণ উদাহরণ যেখানে দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী সরলরেখার দূরত্বকে বক্ররেখায় রূপান্তরিত করা হয় তা পদার্থবিদ্যায় Legendre বহুপদীর প্রয়োগে পাওয়া যেতে পারে । কার্টিসিয়ান স্থানাঙ্কের সাথে বক্ররেখার স্থানাঙ্কের সাথে সম্পর্কিত সমীকরণগুলির সাথে পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে সূত্রগুলি আবিষ্কার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, মেরু স্থানাঙ্কগুলি ( r , θ ) হিসাবে প্রবর্তন করা যেতে পারে:

$$এক্স$$=$$r$$কারণ$$⁡$$i$$,$$y$$=$$r$$পাপ$$⁡$$i$$.${\displaystyle x=r\cos \theta ,\ y=r\sin \theta .}$

তারপর অবস্থান সহ দুটি বিন্দু ( r ₁ , θ ₁ ) এবং ( r ₂ , θ ₂ ) একটি দূরত্ব s দ্বারা পৃথক করা হয়েছে :

$$s$$2${\mathrm{}}^{}$=$$($$এক্স$$1${\mathrm{}}_{}$-$$এক্স$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$y$$1${\mathrm{}}_{}$-$$y$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$=$$($$r$$1${\mathrm{}}_{}$কারণ$$⁡$$i$$1${\mathrm{}}_{}$-$$r$$2${\mathrm{}}_{}$কারণ$$⁡$$i$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$r$$1${\mathrm{}}_{}$পাপ$$⁡$$i$$1${\mathrm{}}_{}$-$$r$$2${\mathrm{}}_{}$পাপ$$⁡$$i$$2${\mathrm{}}_{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$

বর্গক্ষেত্রগুলি সম্পাদন করে এবং পদগুলিকে একত্রিত করে, কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে দূরত্বের জন্য পিথাগোরিয়ান সূত্রটি মেরু স্থানাঙ্কগুলিতে বিভাজন তৈরি করে:

s2=r12+r22-2r1r2(কারণ⁡i1কারণ⁡i2+পাপ⁡i1পাপ⁡i2)=r12+r22-2r1r2কারণ⁡(i1-i2)=r12+r22-2r1r2কারণ⁡ডিi,${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$

ত্রিকোণমিতিক গুণফল থেকে যোগফলের সূত্র ব্যবহার করে । এই সূত্রটি কোসাইনের নিয়ম , কখনও কখনও সাধারণীকৃত পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য বলা হয়। ^[৩৭] এই ফলাফল থেকে, যে ক্ষেত্রে দুটি অবস্থানের ব্যাসার্ধ সমকোণে থাকে, সেখানে আবদ্ধ কোণ Δ θ = π /2, এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ফর্মটি ফিরে পাওয়া যায়:$$s$$2${\mathrm{}}^{}$=$$r$$1$\mathrm{}$2${\mathrm{}}_{}^{}$+$$r$$2$\mathrm{}$2${\mathrm{}}_{}^{}$.${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য, সমকোণী ত্রিভুজের জন্য বৈধ, তাই কোসাইনের আরও সাধারণ নিয়মের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, নির্বিচারে ত্রিভুজের জন্য বৈধ।

পিথাগোরিয়ান ত্রিকোণমিতিক পরিচয়

একটি সমকোণী ত্রিভুজে যার বাহু a , b এবং কর্ণ c , ত্রিকোণমিতি θ কোণের সাইন এবং কোসাইন নির্ণয় করে একটি বাহু এবং কর্ণের মধ্যে :

$$পাপ$$⁡$$i$$=$$খ$$গ$\frac{}{}$,$$কারণ$$⁡$$i$$=$$ক$$গ$\frac{}{}$.${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$

এটি থেকে এটি নিম্নরূপ:

$$কারণ$$2${\mathrm{}}^{}$i$$+$$পাপ$$2${\mathrm{}}^{}$i$$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$গ$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$=$$1$\mathrm{}$,${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$

যেখানে শেষ ধাপটি পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করে। সাইন এবং কোসাইনের মধ্যে এই সম্পর্ককে কখনও কখনও মৌলিক পাইথাগোরিয়ান ত্রিকোণমিতিক পরিচয় বলা হয়। ^[৩৮] অনুরূপ ত্রিভুজগুলিতে, ত্রিভুজগুলির আকার নির্বিশেষে বাহুগুলির অনুপাত একই থাকে এবং কোণের উপর নির্ভর করে। ফলস্বরূপ, চিত্রে, একক আকারের কর্ণ সহ ত্রিভুজটির আকার sin  θ এর বিপরীত দিক এবং কর্ণের এককগুলিতে cos θ আকারের সংলগ্ন দিক রয়েছে  ।

ক্রস পণ্যের সাথে সম্পর্ক

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ক্রস পণ্য এবং ডট পণ্যকে একইভাবে সম্পর্কিত করে: ^[৩৯]

$$‖$$ক$\mathbf{}$×$$খ$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$+$$($$ক$\mathbf{}$⋅$$খ$\mathbf{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$=$$‖$$ক$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$‖$$খ$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$

এটি ক্রস পণ্য এবং ডট পণ্যের সংজ্ঞা থেকে দেখা যায়, যেমন

ক×খ=কখnপাপ⁡iক⋅খ=কখকারণ⁡i,${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}$

n একটি ইউনিট ভেক্টর সহ a এবং b উভয়ের জন্য স্বাভাবিক । সম্পর্ক এই সংজ্ঞা এবং পিথাগোরিয়ান ত্রিকোণমিতিক পরিচয় থেকে অনুসরণ করে।

এটি ক্রস পণ্য সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। পুনর্বিন্যাস করলে নিম্নলিখিত সমীকরণ পাওয়া যায়

$$‖$$ক$\mathbf{}$×$$খ$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$=$$‖$$ক$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$‖$$খ$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$-$$($$ক$\mathbf{}$⋅$$খ$\mathbf{}$)$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$

এটি ক্রস পণ্যের একটি শর্ত হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং তাই এর সংজ্ঞার অংশ, উদাহরণস্বরূপ সাতটি মাত্রায় । ^{[৪০] [৪১]}

সাধারণীকরণ

তিন দিকে অনুরূপ পরিসংখ্যান

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য তিন দিকের বর্গক্ষেত্রের বাইরে যেকোনো অনুরূপ পরিসংখ্যানকে সাধারণীকরণ করে । এটি খ্রিস্টপূর্ব 5 ম শতাব্দীতে চিওসের হিপোক্রেটিস দ্বারা পরিচিত ছিল , ^[42] এবং ইউক্লিড তার উপাদানগুলিতে অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন : ^[43]

যদি কেউ একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর অনুরূপ বাহুগুলির সাথে অনুরূপ পরিসংখ্যান ( ইউক্লিডীয় জ্যামিতি দেখুন ) খাড়া করে, তাহলে দুটি ছোট বাহুর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি বৃহত্তর দিকের একটির ক্ষেত্রফলের সমান হবে।

এই এক্সটেনশনটি অনুমান করে যে মূল ত্রিভুজের বাহুগুলি তিনটি সঙ্গতিপূর্ণ পরিসংখ্যানের সংশ্লিষ্ট বাহু (তাই অনুরূপ চিত্রগুলির মধ্যে বাহুর সাধারণ অনুপাত হল a:b:c )। ^[৪৪] ইউক্লিডের প্রমাণ শুধুমাত্র উত্তল বহুভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য হলেও, উপপাদ্যটি অবতল বহুভুজের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য এবং এমনকি একই ধরনের চিত্রের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য যেগুলোর বক্র সীমানা রয়েছে (তবে এখনও একটি চিত্রের সীমানার অংশটি মূল ত্রিভুজের পাশে)। ^[৪৪]

এই সাধারণীকরণের পিছনে মূল ধারণাটি হল যে একটি সমতল চিত্রের ক্ষেত্রফল যে কোনও রৈখিক মাত্রার বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক এবং বিশেষত যে কোনও দিকের দৈর্ঘ্যের বর্গক্ষেত্রের সমানুপাতিক। এইভাবে, যদি A , B এবং C ক্ষেত্রগুলির সাথে অনুরূপ পরিসংখ্যানগুলি অনুরূপ দৈর্ঘ্য a , b এবং c সহ পাশে স্থাপন করা হয় তাহলে:

$$ক$$ক$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$=$$খ$$খ$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$=$$গ$$গ$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$,${\displaystyle {\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,,}$

$$⇒$$ক$$+$$খ$$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$গ$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$গ$$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$গ$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$গ$$.${\displaystyle \Rightarrow A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C\,.}$

কিন্তু, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, a ² + b ² = c ² , তাই A + B = C।

বিপরীতভাবে, আমরা যদি প্রমাণ করতে পারি যে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার না করে তিনটি অনুরূপ পরিসংখ্যানের জন্য A + B = C , তাহলে আমরা উপপাদ্যের একটি প্রমাণ তৈরি করতে পিছনের দিকে কাজ করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, প্রারম্ভিক কেন্দ্র ত্রিভুজটিকে প্রতিলিপি করা যেতে পারে এবং এটির কর্ণের উপর একটি ত্রিভুজ C হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে , এবং দুটি অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজ ( A এবং B ) অন্য দুটি বাহুর উপর নির্মিত, কেন্দ্রীয় ত্রিভুজটিকে তার উচ্চতা দ্বারা ভাগ করে গঠিত । দুটি ছোট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের যোগফল তাই তৃতীয়টির সমান, এইভাবে A + B = C এবং উপরের যুক্তিটিকে উল্টালে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য a এর দিকে নিয়ে যায়² + b ² = c ² । ( এছাড়াও পুনর্বিন্যাস ছাড়াই ব্যবচ্ছেদ করে আইনস্টাইনের প্রমাণ দেখুন )

অনুরূপ ত্রিভুজের জন্য সাধারণীকরণ, সবুজ ক্ষেত্রফল A + B = নীল ক্ষেত্রফল C

অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজ ব্যবহার করে পিথাগোরাসের উপপাদ্য

নিয়মিত পেন্টাগনের জন্য সাধারণীকরণ

কোসাইনের আইন

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য হল যেকোন ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য সম্পর্কিত আরও সাধারণ উপপাদ্যের একটি বিশেষ কেস, কোসাইনের সূত্র: ^[৪৫]

$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$-$$2$\mathrm{}$ক$$খ$$কারণ$$⁡$$i$$=$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$,${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2},}$

কোথায়$$i${\displaystyle \theta }$পক্ষের মধ্যে কোণ$$ক${\displaystyle a}$এবং$$খ${\displaystyle b}$.

কখন$$i${\displaystyle \theta }$হয়$$পাই$$2${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$রেডিয়ান বা 90°, তারপর$$কারণ$$⁡$$i$$=$$0${\displaystyle \cos {\theta }=0}$, এবং সূত্রটি সাধারণ পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যে হ্রাস পায়।

নির্বিচারে ত্রিভুজ

a, b, c বাহুর সাধারণ ত্রিভুজের যেকোনো নির্বাচিত কোণে একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ লিখুন যাতে এর ভিত্তি θ এর সমান কোণগুলি নির্বাচিত কোণের সমান হয়। ধরুন নির্বাচিত কোণ θটি c লেবেলযুক্ত পাশের বিপরীতে । সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ লিখলে ত্রিভুজ CAD হয় কোণ θ বিপরীত দিকে b এবং পাশে r সহ c বরাবর । একটি দ্বিতীয় ত্রিভুজ গঠিত হয় কোণ θ বিপরীত দিকের a এবং একটি বাহুর সাথে s দৈর্ঘ্য c বরাবর , যেমন চিত্রে দেখানো হয়েছে। সাবিত ইবনে কুররা বলেছেন যে তিনটি ত্রিভুজের বাহু পরস্পর সম্পর্কিত ছিল: ^{[৪৭] [৪৮]}

$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$গ$$($$r$$+$$s$$)$$.${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s)\ .}$

কোণ θ π /2 এর কাছে আসার সাথে সাথে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তি সংকীর্ণ হয় এবং r এবং s দৈর্ঘ্য কম এবং কম ওভারল্যাপ হয়। যখন θ = π /2, ADB একটি সমকোণী ত্রিভুজ হয়, r + s = c , এবং মূল পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি পুনরুদ্ধার করা হয়।

একটি প্রমাণ পর্যবেক্ষণ করে যে ত্রিভুজ ABC- এর ত্রিভুজ CAD- এর মতো একই কোণ রয়েছে , কিন্তু বিপরীত ক্রমে। (দুটি ত্রিভুজ শীর্ষবিন্দু A-তে কোণ ভাগ করে, উভয় কোণ θ ধারণ করে, এবং একইভাবে ত্রিভুজ পোস্টুলেট দ্বারা একই তৃতীয় কোণ রয়েছে ।) ফলস্বরূপ, ABC নিম্ন প্যানেলে ত্রিভুজ DAC- এর প্রতিফলনের অনুরূপ । θ এর বিপরীত এবং সংলগ্ন বাহুর অনুপাত নিলে,

$$গ$$খ$\frac{}{}$=$$খ$$r$\frac{}{}$.${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}\ .}$

একইভাবে, অন্য ত্রিভুজের প্রতিফলনের জন্য,

$$গ$$ক$\frac{}{}$=$$ক$$s$\frac{}{}$.${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}\ .}$

ভগ্নাংশ পরিষ্কার করা এবং এই দুটি সম্পর্ক যোগ করা:

$$গ$$s$$+$$গ$$r$$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$,${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2}\ ,}$

প্রয়োজনীয় ফলাফল।

কোণ হলে উপপাদ্যটি বৈধ থাকে$$i${\displaystyle \theta }$স্থূল তাই r এবং s দৈর্ঘ্য ওভারল্যাপিং নয়।

সমান্তরালগ্রাম ব্যবহার করে সাধারণ ত্রিভুজ

পাপ্পাসের এলাকা উপপাদ্য হল আরও সাধারণীকরণ, যা ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য যেগুলি সমকোণী ত্রিভুজ নয়, বর্গের জায়গায় তিন দিকে সমান্তরালগ্রাম ব্যবহার করে (বর্গ অবশ্যই একটি বিশেষ ক্ষেত্রে)। উপরের চিত্রটি দেখায় যে একটি স্কেলিন ত্রিভুজের জন্য, দীর্ঘতম দিকের সমান্তরাল ক্ষেত্রফল হল অন্য দুটি বাহুর সমান্তরাল ক্ষেত্রগুলির সমষ্টি, যদি দীর্ঘ দিকের সমান্তরালটি নির্দেশিত হিসাবে নির্মিত হয় (মাত্রাগুলির সাথে লেবেল করা হয়েছে তীরগুলি একই, এবং নীচের সমান্তরালগ্রামের দিকগুলি নির্ধারণ করে)। সমান্তরালগ্রামের সাথে বর্গক্ষেত্রের এই প্রতিস্থাপনটি মূল পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাথে একটি সুস্পষ্ট সাদৃশ্য বহন করে এবং 4 খ্রিস্টাব্দে আলেকজান্দ্রিয়ার পাপ্পাস এটিকে একটি সাধারণীকরণ হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন ^{[৪৯] [৫০]}

নীচের চিত্রটি প্রমাণের উপাদানগুলি দেখায়। চিত্রের বাম দিকে ফোকাস করুন। বাম সবুজ সমান্তরালগ্রামের নীচের সমান্তরালগ্রামের বাম, নীল অংশের সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে কারণ উভয়ের ভিত্তি b এবং উচ্চতা h একই । যাইহোক, বাম সবুজ সমান্তরালগ্রামেরও উপরের চিত্রের বাম সবুজ সমান্তরালগ্রামের সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে, কারণ তাদের একই ভিত্তি (ত্রিভুজের উপরের বাম দিকে) এবং ত্রিভুজের সেই পাশের স্বাভাবিক উচ্চতা একই। চিত্রের ডান দিকের যুক্তিটি পুনরাবৃত্তি করলে, নীচের সমান্তরালগ্রামের দুটি সবুজ সমান্তরালগ্রামের সমষ্টির সমান ক্ষেত্রফল রয়েছে।

কঠিন জ্যামিতি

কঠিন জ্যামিতির পরিপ্রেক্ষিতে , পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি নিম্নরূপ তিনটি মাত্রায় প্রয়োগ করা যেতে পারে। চিত্রে দেখানো হিসাবে একটি আয়তক্ষেত্রাকার কঠিন বিবেচনা করুন। তির্যক BD- এর দৈর্ঘ্য পাইথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাওয়া যায়:

$$খ$$ডি$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$=$$খ$$গ$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$+$$গ$$ডি$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$,${\displaystyle {\overline {BD}}^{\,2}={\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ ,}$

যেখানে এই তিনটি বাহু একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। অনুভূমিক তির্যক BD এবং উল্লম্ব প্রান্ত AB ব্যবহার করে, তির্যক AD এর দৈর্ঘ্য তখন পিথাগোরাসের উপপাদ্যের দ্বিতীয় প্রয়োগ দ্বারা পাওয়া যায়:

$$ক$$ডি$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$খ$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$ডি$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$,${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BD}}^{\,2}\ ,}$

বা, এক ধাপে এটি সব করা:

$$ক$$ডি$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$খ$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$গ$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$+$$গ$$ডি$$¯$\stackrel{}{}$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}\ .}$

এই ফলাফলটি একটি ভেক্টর v (কর্ণ AD) এর অর্থোগোনাল উপাদান { v _k } (তিনটি পারস্পরিক লম্ব বাহু) এর পরিপ্রেক্ষিতে ত্রিমাত্রিক অভিব্যক্তি :

$$‖$$v$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$=$$∑$$k$$=$$1$\mathrm{}$3$\underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}$‖$$v$\mathbf{}$k${}_{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$

এই এক-পদক্ষেপ গঠনকে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উচ্চতর মাত্রার সাধারণীকরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে। যাইহোক, এই ফলাফলটি আসলেই আসল পিথাগোরাসের উপপাদ্যের পুনরাবৃত্ত প্রয়োগ যা অর্থোগোনাল প্লেনের একটি ক্রমানুসারে সমকোণী ত্রিভুজের উত্তরাধিকার।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের তিনটি মাত্রার একটি উল্লেখযোগ্য সাধারণীকরণ হল ডি গুয়ার উপপাদ্য , যা জিন পল দে গুয়া দে মালভেসের জন্য নামকরণ করা হয়েছে : যদি একটি টেট্রাহেড্রনের একটি সমকোণ কোণ থাকে (একটি ঘনকের কোণের মতো ), তাহলে মুখের ক্ষেত্রফলের বর্গক্ষেত্র সমকোণ কোণের বিপরীতে হল অন্য তিনটি মুখের ক্ষেত্রগুলির বর্গের সমষ্টি। এই ফলাফলটিকে " n- মাত্রিক পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য" হিসাবে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে : ^[51]

দিন$$এক্স$$1${\mathrm{}}_{}$,$$এক্স$$2${\mathrm{}}_{}$,$$…$$,$$এক্স$$n${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$R ⁿ এ অর্থোগোনাল ভেক্টর হও । শীর্ষবিন্দু সহ n -মাত্রিক সিমপ্লেক্স S বিবেচনা করুন$$0$\mathrm{}$,$$এক্স$$1${\mathrm{}}_{}$,$$…$$,$$এক্স$$n${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$. ( ( n  − 1)-মাত্রিক সিমপ্লেক্সের সাথে শীর্ষবিন্দুর কথা চিন্তা করুন$$এক্স$$1${\mathrm{}}_{}$,$$…$$,$$এক্স$$n${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$S এর "হাইপোটেনাস" হিসাবে উৎপত্তি এবং অবশিষ্ট ( n  − 1)-মাত্রিক মুখগুলিকে S এর "পা" হিসাবে অন্তর্ভুক্ত করে না।) তারপর S- এর কর্ণের আয়তনের বর্গ হল বর্গের বর্গের সমষ্টি। n পায়ের আয়তন ।

এই বিবৃতিটি চিত্রে টেট্রাহেড্রন দ্বারা তিনটি মাত্রায় চিত্রিত করা হয়েছে। "হাইপোটেনাস" হল চিত্রের পিছনে টেট্রাহেড্রনের ভিত্তি, এবং "পা" হল সামনের অংশে শীর্ষবিন্দু থেকে নির্গত তিনটি দিক। শীর্ষবিন্দু থেকে ভিত্তির গভীরতা বাড়ার সাথে সাথে "পা" এর ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি পায়, যখন ভিত্তিটি স্থির থাকে। উপপাদ্যটি পরামর্শ দেয় যে যখন এই গভীরতাটি একটি ডান শীর্ষবিন্দু তৈরি করার মানটিতে থাকে, তখন পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাধারণীকরণ প্রযোজ্য হয়। একটি ভিন্ন শব্দে: ^[52]

একটি n -আয়তক্ষেত্রাকার n -মাত্রিক সিমপ্লেক্স দেওয়া  হলে , ডান শীর্ষবিন্দুর বিপরীত দিকের ( n  − 1) বিষয়বস্তুর বর্গটি অবশিষ্ট দিকগুলির ( n − 1) বিষয়বস্তুর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান হবে ৷

অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থান

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের স্থানগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে , ^[৫৩] যা পরিচিত 2-মাত্রিক এবং 3-মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানগুলির সাধারণীকরণ । উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশনকে একটি ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে একটি অভ্যন্তরীণ পণ্য স্থানের অসীম অনেকগুলি উপাদান সহ, যেমন কার্যকরী বিশ্লেষণে । ^[৫৪]

একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের জায়গায়, লম্বতার ধারণাটি অর্থোগোনালিটির ধারণা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় : দুটি ভেক্টর v এবং w অর্থোগোনাল হয় যদি তাদের অভ্যন্তরীণ পণ্য$$⟨$$v$\mathbf{}$,$$w$\mathbf{}$⟩${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$শূন্য অভ্যন্তরীণ পণ্যটি ভেক্টরের ডট পণ্যের একটি সাধারণীকরণ । ডট পণ্যটিকে স্ট্যান্ডার্ড অভ্যন্তরীণ পণ্য বা ইউক্লিডীয় অভ্যন্তরীণ পণ্য বলা হয়। যাইহোক, অন্যান্য অভ্যন্তরীণ পণ্য সম্ভব। ^[৫৫]

দৈর্ঘ্যের ধারণাটি আদর্শের ধারণা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় || v || একটি ভেক্টর v এর , সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: ^[56]

$$‖$$v$\mathbf{}$‖$$≡$$⟨$$v$\mathbf{}$,$$v$\mathbf{}$⟩$\sqrt{}$.${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\,.}$

একটি অভ্যন্তরীণ-উৎপাদন স্থানে, পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি বলে যে যেকোনো দুটি অর্থোগোনাল ভেক্টর v এবং w এর জন্য আমাদের আছে

$$‖$$v$\mathbf{}$+$$w$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$=$$‖$$v$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$+$$‖$$w$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$.${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$

এখানে v এবং w ভেক্টরগুলি একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলির সাথে সদৃশ যা ভেক্টর যোগফল v  +  w দ্বারা প্রদত্ত কর্ণ । পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের এই রূপটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের বৈশিষ্ট্যগুলির একটি ফলাফল :

‖v+w‖2=⟨v+w,v+w⟩=⟨v,v⟩+⟨w,w⟩+⟨v,w⟩+⟨w,v⟩=‖v‖2+‖w‖2,${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}&=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle \\[3mu]&=\langle \mathbf {v} ,\ \mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\ \mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\ w} \rangle +\langle \mathbf {w,\ v} \rangle \\[3mu]&=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},\end{aligned}}}$

কোথায়$$⟨$$v$\mathbf{}$,$\mathbf{}$w$\mathbf{}$⟩$$=$$⟨$$w$\mathbf{}$,$\mathbf{}$v$\mathbf{}$⟩$$=$$0${\displaystyle \langle \mathbf {v,\ w} \rangle =\langle \mathbf {w,\ v} \rangle =0}$অর্থগোনালিটির কারণে।

অ-অর্থোগোনাল ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ পণ্যের জায়গায় পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের আরও একটি সাধারণীকরণ হল সমান্তরালগ্রাম সূত্র  : ^[56]

$$2$\mathrm{}$‖$$v$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$+$$2$\mathrm{}$‖$$w$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$=$$‖$$v$\mathbf{}$+$\mathbf{}$w$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$+$$‖$$v$\mathbf{}$-$\mathbf{}$w$\mathbf{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$,${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {v-w} \|^{2}\ ,}$

যা বলে যে একটি সমান্তরালগ্রামের বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টির দ্বিগুণ হল কর্ণগুলির দৈর্ঘ্যের বর্গের সমষ্টি। যে কোনো নিয়ম যা এই সমতাকে সন্তুষ্ট করে তা হল একটি অভ্যন্তরীণ পণ্যের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ একটি আদর্শ। ^[৫৬]

পিথাগোরীয় পরিচয় দুটির বেশি অর্থোগোনাল ভেক্টরের সমষ্টিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। যদি v ₁ , v ₂ , ..., v _n একটি অভ্যন্তরীণ-উপাদান স্থানের জোড়া-অর্থোগোনাল ভেক্টর হয়, তাহলে এই ভেক্টরগুলির ধারাবাহিক জোড়ায় পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের প্রয়োগ (যেমন কঠিন জ্যামিতির বিভাগে 3-মাত্রার জন্য বর্ণিত হয়েছে) ) সমীকরণের ফলাফল ^[57]

$$‖$$∑$$k$$=$$1$\mathrm{}$n$\underset{}{\overset{}{}}$v$\mathbf{}$k${}_{}$‖$$2${\mathrm{}}^{}$=$$∑$$k$$=$$1$\mathrm{}$n$\underset{}{\overset{}{}}$‖$$v$\mathbf{}$k${}_{}$‖$$2${\displaystyle \left\|\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}$

n -মাত্রিক স্থানে m -মাত্রিক বস্তুর সেট

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের আরেকটি সাধারণীকরণ যেকোন সংখ্যক মাত্রায় বস্তুর লেবেসগুয়ে-পরিমাপযোগ্য সেটের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। বিশেষত, n -মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের এক বা একাধিক সমান্তরাল m -মাত্রিক সমতল বস্তুর একটি m -মাত্রিক সেটের পরিমাপের বর্গ বস্তুর অর্থোগোনাল প্রজেকশনের পরিমাপের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান ) সমস্ত m -মাত্রিক স্থানাঙ্ক সাবস্পেসে। ^[৫৮]

গাণিতিক ভাষায়:

$$মি$$মি$$s$$2${\mathrm{}}_{}^{}$=$$∑$$i$$=$$1$\mathrm{}$এক্স$\underset{}{\overset{}{}}$মি$$2${\mathbf{}}^{}$মি$$পি$$i${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mathbf {\mu ^{2}} _{mp_{i}}}$

কোথায়:

• $$মি$$মি${\displaystyle \mu _{m}}$m -dimensions- এ একটি পরিমাপ (একটি মাত্রায় একটি দৈর্ঘ্য, দুটি মাত্রায় একটি এলাকা, তিনটি মাত্রায় একটি আয়তন ইত্যাদি)।
• $$s${\displaystyle s}$n- মাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানের এক বা একাধিক সমান্তরাল m -মাত্রিক ফ্ল্যাটে এক বা একাধিক নন-ওভারল্যাপিং m -ডাইমেনশনাল বস্তুর একটি সেট।
• $$মি$$মি$$s${\displaystyle \mu _{ms}}$m -মাত্রিক বস্তুর সেটের মোট পরিমাপ (সমষ্টি) ।
• $$পি${\displaystyle p}$একটি অর্থোগোনাল স্থানাঙ্ক সাবস্পেসে মূল সেটের একটি m- মাত্রিক অভিক্ষেপ উপস্থাপন করে।
• $$মি$$মি$$পি$$i${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$m -মাত্রিক স্থানাঙ্ক সাবস্পেসে m -মাত্রিক সেট অভিক্ষেপের পরিমাপ$$i${\displaystyle i}$. যেহেতু অবজেক্ট প্রজেকশনগুলি একটি স্থানাঙ্ক সাবস্পেসে ওভারল্যাপ করতে পারে, সেটে প্রতিটি অবজেক্ট প্রজেকশনের পরিমাপ আলাদাভাবে গণনা করা আবশ্যক, তারপর প্রদত্ত স্থানাঙ্ক সাবস্পেসে অনুমানগুলির সেটের জন্য মোট পরিমাপ প্রদান করতে সমস্ত প্রজেকশনের পরিমাপ একসাথে যোগ করা হবে।
• $$এক্স${\displaystyle x}$n -মাত্রিক স্থান ( R ⁿ ) এর অর্থোগোনাল, m -মাত্রিক স্থানাঙ্কের সাবস্পেসের সংখ্যা যার উপর m -মাত্রিক বস্তুগুলি প্রক্ষিপ্ত হয় ( m ≤ n ):
  $$$$এক্স$$$$=$$$$($$$$n$$$$মি$$\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}$$)$$$$=$$$$n$$$$!$$$$মি$$$$!$$$$($$$$n$$$$-$$$$মি$$$$)$$$$!$${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(n-m)!}}}$$

  

অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি ইউক্লিডীয় জ্যামিতির স্বতঃসিদ্ধ থেকে উদ্ভূত হয়েছে , এবং প্রকৃতপক্ষে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য যদি কিছু সমকোণী ত্রিভুজের জন্য ব্যর্থ হয়, তাহলে এই ত্রিভুজটি যে সমতলে রয়েছে সেটি ইউক্লিডীয় হতে পারে না। আরও স্পষ্টভাবে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি বোঝায় এবং ইউক্লিডের সমান্তরাল (পঞ্চম) পোস্টুলেট দ্বারা বোঝানো হয় । ^{[৫৯] [৬০]} সুতরাং, অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে সমকোণী ত্রিভুজ ^[৬১] পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সন্তুষ্ট করে না। উদাহরণস্বরূপ, গোলাকার জ্যামিতিতে , সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহু (বলুন a , b , এবং c ) একক গোলকের একটি অষ্টেন্টকে আবদ্ধ করে দৈর্ঘ্যের সমানπ /2, এবং এর সমস্ত কোণ সমকোণ, যা পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য লঙ্ঘন করে কারণ $$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$2$\mathrm{}$গ$$2${\mathrm{}}^{}$>$$গ$$2${\displaystyle a^{2}+b^{2}=2c^{2}>c^{2}}$.

এখানে নন-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়েছে- গোলাকার জ্যামিতি এবং হাইপারবোলিক সমতল জ্যামিতি ; প্রতিটি ক্ষেত্রে, অ-সমক্ষ ত্রিভুজের জন্য ইউক্লিডীয় ক্ষেত্রে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রতিস্থাপনের ফলাফল কোসাইনের উপযুক্ত আইন থেকে অনুসরণ করে।

যাইহোক, হাইপারবোলিক জ্যামিতি এবং উপবৃত্তাকার জ্যামিতিতে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি সত্য থাকে যদি ত্রিভুজটি সমকোণী হওয়ার শর্তটি প্রতিস্থাপিত হয় যে শর্তে দুটি কোণের যোগফল তৃতীয় হয়, বলুন A + B = C। তারপরে বাহুগুলি নিম্নলিখিতভাবে সম্পর্কিত: a এবং b ব্যাস সহ বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি c ব্যাস সহ বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সমান । ^[62]

গোলাকার জ্যামিতি

R ব্যাসার্ধের একটি গোলকের যেকোন সমকোণী ত্রিভুজের জন্য (উদাহরণস্বরূপ, চিত্রে γ যদি একটি সমকোণ হয়), বাহু a , b , c সহ , বাহুর মধ্যে সম্পর্কটি রূপ নেয়: ^[63]

$$কারণ$$⁡$$গ$$আর$\frac{}{}$=$$কারণ$$⁡$$ক$$আর$\frac{}{}$কারণ$$⁡$$খ$$আর$\frac{}{}$.${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.}$

এই সমীকরণটি কোসাইনের গোলাকার সূত্রের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে উদ্ভূত হতে পারে যা সমস্ত গোলাকার ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য:

$$কারণ$$⁡$$গ$$আর$\frac{}{}$=$$কারণ$$⁡$$ক$$আর$\frac{}{}$কারণ$$⁡$$খ$$আর$\frac{}{}$+$$পাপ$$⁡$$ক$$আর$\frac{}{}$পাপ$$⁡$$খ$$আর$\frac{}{}$কারণ$$⁡$$গ$$.${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\cos {\gamma }.}$

গোলকের অসীম ত্রিভুজগুলির জন্য (বা সমতুল্যভাবে, অসীম ব্যাসার্ধের একটি গোলকের উপর সসীম গোলাকার ত্রিভুজগুলির জন্য), একটি সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর মধ্যে গোলাকার সম্পর্ক পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের ইউক্লিডীয় ফর্মে হ্রাস পায়। কিভাবে দেখতে, অনুমান করুন আমাদের প্রসারিত ব্যাসার্ধ R সহ একটি গোলকের উপর a , b , এবং c স্থির পার্শ্ব দৈর্ঘ্যের একটি গোলাকার ত্রিভুজ রয়েছে । R যখন অসীমের কাছে পৌঁছায় a/R , b/R , এবং c/R এর পরিমাণ শূন্য হয়ে যায় এবং গোলাকার পিথাগোরিয়ান পরিচয় কমে যায়$$1$\mathrm{}$=$$1$\mathrm{}$,${\displaystyle 1=1,}$তাই আমাদের অবশ্যই এর অ্যাসিম্পোটিক প্রসারণের দিকে নজর দিতে হবে ।

কোসাইন ফাংশনের জন্য Maclaurin সিরিজ হিসাবে লেখা যেতে পারে$$কারণ$$⁡$$এক্স$$=$$1$\mathrm{}$-$$1$\mathrm{}$2$\frac{\mathrm{}}{}$এক্স$$2${\mathrm{}}^{}$+$$ও$$($$এক্স$$4${\mathrm{}}^{}$)${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}}$বড় হে স্বরলিপিতে অবশিষ্ট পদের সাথে । লেটিং$$এক্স$$=$$গ$$/$$আর${\displaystyle x=c/R}$ত্রিভুজের একটি বাহু হতে হবে, এবং একটি নির্দিষ্ট c এর জন্য R এর পরিপ্রেক্ষিতে একটি অ্যাসিম্পটোটিক প্রসারণ হিসাবে অভিব্যক্তিটিকে বিবেচনা করুন ,

$$কারণ$$⁡$$গ$$আর$\frac{}{}$=$$1$\mathrm{}$-$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$2$\mathrm{}$আর$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$+$$ও$$($$আর$$-$$4${\mathrm{}}^{}$)${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {c}{R}}=1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\end{aligned}}}$

এবং একইভাবে a এবং b এর জন্য । একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য প্রতিটি কোসাইনের জন্য অসিম্পোটিক সম্প্রসারণকে গোলাকার সম্পর্কের মধ্যে প্রতিস্থাপন করলে ফল পাওয়া যায়

1-গ22আর2+ও(আর-4)=(1-ক22আর2+ও(আর-4))(1-খ22আর2+ও(আর-4))=1-ক22আর2-খ22আর2+ও(আর-4).${\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}&=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\\&=1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.\end{aligned}}}$

1 বিয়োগ করুন এবং তারপর প্রতিটি দিক অস্বীকার করুন,

$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$2$\mathrm{}$আর$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$2$\mathrm{}$আর$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$2$\mathrm{}$আর$$2$\frac{{\mathrm{}}^{}}{}$+$$ও$$($$আর$$-$$4${\mathrm{}}^{}$)$$.${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.}$

2 R ² দ্বারা গুণ করলে , স্থির a , b এবং চলক R এর পরিপ্রেক্ষিতে c- এর অ্যাসিম্পোটিক প্রসারণ হয়

$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\mathrm{}}^{}$+$$ও$$($$আর$$-$$2${\mathrm{}}^{}$)$$.${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.}$

ইউক্লিডীয় পিথাগোরিয়ান সম্পর্ক$$গ$$2${\mathrm{}}^{}$=$$ক$$2${\mathrm{}}^{}$+$$খ$$2${\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$সীমার মধ্যে পুনরুদ্ধার করা হয়, যেহেতু ব্যাসার্ধ R অসীমের কাছে পৌঁছালে অবশিষ্টটি অদৃশ্য হয়ে যায় ।

ছোট সমকোণী ত্রিভুজ সহ গোলাকার ত্রিকোণমিতিতে ব্যবহারিক গণনার জন্য, দ্বি-কোণ পরিচয় ব্যবহার করে কোসাইনগুলিকে সাইন দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা যেতে পারে$$কারণ$$⁡$$2$\mathrm{}$i$$=$$1$\mathrm{}$-$$2$\mathrm{}$পাপ$$2${\mathrm{}}^{}$⁡$$i${\displaystyle \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }}$তাৎপর্যের ক্ষতি এড়াতে । তারপর গোলাকার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি পর্যায়ক্রমে লেখা যেতে পারে

$$পাপ$$2${\mathrm{}}^{}$⁡$$গ$$2$\mathrm{}$আর$\frac{}{}$=$$পাপ$$2${\mathrm{}}^{}$⁡$$ক$$2$\mathrm{}$আর$\frac{}{}$+$$পাপ$$2${\mathrm{}}^{}$⁡$$খ$$2$\mathrm{}$আর$\frac{}{}$-$$2$\mathrm{}$পাপ$$2${\mathrm{}}^{}$⁡$$ক$$2$\mathrm{}$আর$\frac{}{}$পাপ$$2${\mathrm{}}^{}$⁡$$খ$$2$\mathrm{}$আর$\frac{}{}$.${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\,\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$

হাইপারবোলিক জ্যামিতি

অভিন্ন গাউসিয়ান বক্রতা −1/ R ² সহ একটি হাইপারবোলিক স্পেসে , a , b , এবং hypotenuse c সহ একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য , বাহুর মধ্যে সম্পর্কটি রূপ নেয়: ^[64]

$$cosh$$⁡$$গ$$আর$\frac{}{}$=$$cosh$$⁡$$ক$$আর$\frac{}{}$cosh$$⁡$$খ$$আর${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$

যেখানে cosh হল হাইপারবোলিক কোসাইন । এই সূত্রটি কোসাইনের হাইপারবোলিক সূত্রের একটি বিশেষ রূপ যা সমস্ত অতিভুজ ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য: ^[65]

$$cosh$$⁡$$গ$$আর$\frac{}{}$=$$cosh$$⁡$$ক$$আর$\frac{}{}$cosh$$⁡$$খ$$আর$\frac{}{}$-$$জন্ম$$⁡$$ক$$আর$\frac{}{}$জন্ম$$⁡$$খ$$আর$\frac{}{}$কারণ$$⁡$$গ$$,${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\ \cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\ \sinh {\frac {b}{R}}\ \cos \gamma \ ,}$

γ দিয়ে কোণটি শীর্ষবিন্দুতে c এর বিপরীত দিকে ।

হাইপারবোলিক কোসাইন, cosh x ≈ 1 + x ² /2 এর জন্য Maclaurin সিরিজ ব্যবহার করে , এটি দেখানো যেতে পারে যে একটি হাইপারবোলিক ত্রিভুজ খুব ছোট হয়ে যায় (অর্থাৎ , a , b , এবং c সব শূন্যের কাছে), হাইপারবোলিক একটি সমকোণী ত্রিভুজের সম্পর্ক পিথাগোরাসের উপপাদ্যের আকারে আসে।

ছোট সমকোণী ত্রিভুজের জন্য ( a , b << R ), তাত্পর্য হারানো এড়াতে হাইপারবোলিক কোসাইনগুলি বাদ দেওয়া যেতে পারে

$$জন্ম$$2${\mathrm{}}^{}$⁡$$গ$$2$\mathrm{}$আর$\frac{}{}$